Tháng 9/2019, sau khi các sách giáo khoa lớp 1 do giáo sư Hồ Ngọc Đại chủ biên đều được đánh giá không đạt yêu cầu của chương trình phổ thông mới 2018, ông vẫn tự hào rằng: "Học sinh của tôi có thể nói là 2 3 = 10, 2 3 = 11. 2 3 = 5 chỉ trong cái hệ bình thường hàng ngày, còn 2 3 = 10 trong những hệ khác, hệ 5 chẳng hạn. Hay hệ 4 chẳng hạn, thì 2 3 =11."
Nhận định của giáo sư có thể khiến nhiều người lầm tưởng ông nói sai. Bài viết này sẽ giới thiệu sơ qua cho bạn về những cách đếm khác với những gì xã hội hiện đại hay dùng, qua đó hiểu hơn về lời của giáo sư Hồ Ngọc Đại.
Bài viết này tham khảo tài liệu của khoa Khoa học máy tính trường đại học công Appalachian ở North Carolina (Mỹ) và một số nguồn liên quan.
Những cách đếm số lạ nhưng không mới
Trong toán học, một con số có thể được ghi bằng nhiều ký hiệu và cách thức khác nhau. Tập hợp các ký hiệu và quy tắc sử dụng ký hiệu để biểu diễn một giá trị số nhất định gọi là hệ đếm.
Hệ thập phân là hệ đếm được sử dụng rộng rãi nhất ngày nay. Trong hệ thập phân hay còn gọi là hệ 10, chúng ta có thể viết số bằng mười ký hiệu 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Mười ký hiệu này cũng là các số có một chữ số.
Giá trị của các chữ số (còn gọi là giá trị theo vị trí) trong hệ 10 sẽ là lũy thừa của 10. Bắt đầu từ bên phải sang bên trái, chúng ta có hàng đơn vị hay hàng 1 (10 lũy thừa 0), rồi hàng chục hay 10 (10 lũy thừa 1), hàng trăm hay 100 (10 lũy thừa 2)...
Quy luật của hệ thống giá trị theo hàng hay giá trị theo vị trí là chữ số ở hàng nào sẽ thể hiện giá trị của hàng đó, giá trị của một hàng sẽ cao hơn giá trị hàng liền kề bên phải một số lần bằng con số chỉ hệ đếm.
Trong hệ thập phân, giá trị của một hàng sẽ cao hơn hàng liền kề bên phải 10 lần. Nếu muốn biểu diễn giá trị 79, bạn cần bảy lần 10 nên hàng chục sẽ là số 7, hàng đơn vị là số 9.
Số 79 trong hệ thập phân gồm hai chữ số là 7 ở hàng chục và 9 ở hàng đơn vị
Ngoài hệ thập phân, con người chúng ta cũng dùng thêm một vài hệ đếm khác. Ví dụ như hệ đếm phổ biến trong các bộ tộc thiểu số ở Úc và Mỹ là hệ ngũ phân hay hệ 5. Người dùng hệ ngũ phân ghi số bằng năm chữ số 0; 1; 2; 3; 4.
Giá trị các chữ số của số trong hệ đếm g - phân bất kỳ (g là một số tự nhiên lớn hơn 1) sẽ là lũy thừa của g. Do đó, giá trị các chữ số của số trong hệ ngũ phân sẽ là các lũy thừa của 5. Từ phải sang trái ta có các hàng 1 (5 lũy thừa 1), 25 (5 lũy thừa 2), 125 (5 lũy thừa 3)…
Giá trị các chữ số của một con số trong hệ ngũ phân, thập phân và hệ đếm g - phân bất kỳ
Giả sử bạn dùng hệ ngũ phân và bắt đầu đếm số từ 1. Sau 1, 2, 3, 4 thì con số tiếp theo sẽ là số nào?
Hệ ngũ phân chỉ dùng 5 chữ số từ 0-4, giá trị theo vị trí là lũy thừa của 5 nhưng chữ số lớn nhất là 4. Nếu muốn viết một số lớn hơn 4 thì chúng ta phải dùng hệ thống giá trị theo vị trí. Giá trị tiếp theo 4 là 5 trong hệ thập phân nhưng trong hệ ngũ phân sẽ được viết là 10.
Như vậy, số 5 trong hệ thập phân và số 10 trong hệ ngũ phân đều có cùng giá trị là "5", chỉ khác nhau ở cách biểu diễn bằng ký hiệu.
Giờ đây, cách đếm các số từ 1-20 trong hệ ngũ phân sẽ là:
| SỐ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| HỆ 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 40 |
Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn sử dụng một hệ đếm lớn hơn 10, chúng ta sẽ dùng cái gì thay cho các chữ số? Theo quy ước, ta sẽ dùng đến các chữ cái, ví dụ như trong hệ thập lục phân (hệ 16), ta dùng thêm 6 chữ cái A, B, C, D, E, F có giá trị lần lượt là: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
Dưới đây là cách đếm số từ 1-32 trong hệ thập lục phân:
| SỐ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| HỆ 16 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
| SỐ | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |
| HỆ 16 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E | 1F | 20 |
Số và ký hiệu ghi số
Về bản chất, số (number) là ý tưởng về số, còn ký hiệu số (numeral) là cách biểu diễn ý tưởng số đó bằng ký hiệu hay chữ viết: một (1), hai (2), ba (3), hai mươi mốt (21). Chữ số (digit) là các ký hiệu dùng để biểu diễn một con số như số 21 gồm hai chữ số 2 và 1. Quan hệ giữa số 21 và ký hiệu 21, các chữ số 2,1 cũng giống như ý tưởng con mèo và từ "mèo", các chữ cái m, e, o.
Trong giao tiếp, chúng ta thường dùng từ "số" với nghĩa là ký hiệu số, tên số. Mọi người hay nói số 2 hay hai, số 3 hay ba chứ không ai dùng từ quá chính xác là chữ số 2, chữ số 3. Việc này không có vấn đề gì vì ý nghĩa của từ "số" luôn được hiểu đúng trong ngữ cảnh nhất định.
Sự đồng nhất ý tưởng và ký hiệu số cũng diễn ra khi bạn đếm số trong các hệ đếm khác. Nếu mọi người đều dùng hệ ngũ phân thì trong giao tiếp đời thường, bạn chỉ cần nói số 10, 11, 12 (tương đương với 5, 6, 7 trong hệ thập phân) là người nghe sẽ hiểu đúng bạn muốn nhắc tới các con số này chứ bạn không cần diễn đạt quá chính xác là chữ số 10, chữ số 11, chữ số 12.
Nếu cả thế giới chỉ dùng một hệ đếm duy nhất là hệ ngũ phân hay hệ thập phân, việc đồng nhất ý tưởng và ký hiệu số, tên số là chuyện bình thường. Chúng ta vẫn hiểu đúng ý nghĩa của số trong giao tiếp hàng ngày.
Khi thế giới sử dụng những hệ đếm khác ngoài hệ thập phân, nhu cầu chuyển đổi số từ hệ đếm này sang hệ đếm khác phát sinh. Việc hiểu rõ bản chất của số, sự phân biệt giữa số và ký hiệu số, quy tắc xây dựng số trong các hệ đếm trở nên quan trọng.
Khi lấy một hệ đếm nào đó làm chuẩn thì ý tưởng số đó không hề thay đổi, ta chỉ thay đổi cách biểu diễn bằng ký hiệu.
Khi lấy hệ thập phân làm chuẩn, ta thấy số "5" có nhiều ký hiệu khác nhau: 5 trong các hệ từ thập phân trở lên, 10 trong hệ ngũ phân hay 101 trong hệ nhị phân,... tất cả đều chỉ là những cách viết khác nhau của một ý tưởng duy nhất là số "5". Nói cách khác, "5", "10" hay "101" chỉ là những cái tên khác nhau của ý tưởng số 5 theo cách ghi số trong các hệ thập phân, ngũ phân, nhị phân.
Một cách nói chính xác hơn theo ngôn ngữ toán học là số 5 trong hệ thập phân có nhiều ký hiệu hình thức khác nhau trong các hệ đếm khác nhưng giá trị số vẫn là 5.
Số 5 theo cách ghi của những hệ đếm khác nhau.
Phát biểu của giáo sư Hồ Ngọc Đại khó hiểu ở chỗ nào?
Bạn cần lưu ý, "hai cộng ba bằng mười" chỉ đúng nếu cả thế giới đều dùng hệ ngũ phân thay cho hệ thập phân hay những hệ đếm khác. Khi đó chúng ta chỉ có duy nhất một con số 10, đọc là "mười", không nhầm với bất kỳ số nào khác.
Khi hệ thập phân đang là tiêu chuẩn thì cách nói "hai cộng ba bằng mười trong hệ năm" của GS Đại dễ khiến chúng ta hiểu nhầm "mười" là số 10 quen thuộc trong hệ thập phân, và dường như học sinh của giáo sư sẽ được học những quy tắc toán học mới cao siêu hơn phép cộng hàng ngày.
Nếu đã học qua các hệ đếm, bạn sẽ hiểu được phát biểu của giáo sư Hồ Ngọc Đại xuất phát từ phép cộng đơn giản 2 3 = 5, khi dùng hệ tứ phân, ngũ phân thì các ký hiệu 2, 3 không thay đổi nhưng kết quả của phép cộng là 5 sẽ tương đương với 10 trong hệ ngũ phân, hay 11 trong hệ tứ phân.
Thực tế thì cách đếm số trong hệ ngũ phân không có gì khó hiểu nhưng vì chúng ta đã quá quen với hệ thập phân nên ban đầu sẽ cảm thấy lúng túng. Khi nắm được quy luật thì mọi thứ trở nên đơn giản hơn nhiều, thậm chí bạn sẽ thấy đếm số trong các hệ đếm có cơ số nhỏ hơn 10 còn dễ hơn đếm trong hệ thập phân vì chúng ta dùng ít chữ số hơn. Bạn có thể thấy rõ điều này qua các ví dụ đếm số ở phần đầu bài.
Vấn đề nằm ở chỗ, khi đang dùng hệ thập phân, chúng ta cần thay đổi cách đọc và ghi ký hiệu số trong các hệ đếm khác để tránh nhầm lẫn.
Ví dụ cách ghi số cần có thêm ký hiệu chỉ hệ đếm ở chân số 25 35 = 105.
Sau đây là một đoạn video hướng dẫn cách đếm và đọc số trong hệ ngũ phân của tổ chức giáo dục ETC Montessori.
Khi lấy hệ thập phân làm chuẩn, quy tắc đọc các số được viết trong các hệ đếm khác là đọc từng chữ số từ trái sang phải. Do đó, giá trị 5 viết là "10" trong hệ ngũ phân sẽ được đọc là một-không (tiếng Anh là one-zero như trong video trên) hay 11 trong hệ tứ phân đọc là một-một.
Ảnh minh họa này sẽ giúp bạn hình dung phép cộng 2 3 = 5 một cách trực quan từ bài toán thực tế đến ký hiệu toán học:
Tổng hợp